Расчет лестницы на онлайн-калькуляторе с чертежами и размерами бесплатно — попробуйте 3D-конструктор лестницы на второй этаж: прямая, 90°, 180°, винтовая. Расчет ступеней лестницы, косоуров, балясин, угла наклона.
Перед началом расчета лестницы, мы рекомендуем вам ознакомиться с предложенной видеоинструкцией, в которой подробно описываются все шаги работы в программе и предоставлены советы мастера, который занимается изготовлением лестниц на профессиональной основе.
Лестница — это не просто функциональный элемент, соединяющий различные уровни в пространстве, это неотъемлемая часть архитектурного облика любого здания, сочетающая в себе важные аспекты безопасности, комфорта и эстетики.
При этом проектирование лестницы требует тщательного подхода к расчету размеров, подбору оптимальных размеров элементов конструкции в соответствии строительных норм и правил.
В данной статье мы рассмотрим ключевые принципы расчета и проектирования лестниц, проанализируем нормы и стандарты, а также предоставим практические рекомендации по подбору оптимальных параметров для лестниц различных типов.
Конструктивно лестница состоит из двух основных элементов, которые присутствуют во всех проектах без исключения. Это:
Тетива, в профессиональном понимании, представляет собой цельную массивную балку, ступени к которой крепятся с внутренней стороны, либо при помощи накладных уголков/брусков, либо при помощи посадочных отверстий (пазов).
Косоур же имеет форму зубчатой гребенки (пилы), на горизонтальные поверхности которой укладываются ступени. Важным отличием от тетивы, является тот фактор, что минимальная ширина балки сокращается на глубину запила, что в целом снижает несущую способность.
Также встречаются комбинированные косоуры, когда с внешней стороны зубчатый косоур перекрывается монолитной тетивой, что позволяет придать лестнице более эстетичный вид и дополнительно усилить конструкцию.
При этом в зависимости от особенностей конфигурации и используемых материалов, лестница также может оснащаться дополнительными деталями и узлами, такими как:
Но и это не все лестничные термины, которые необходимо знать при проектировании, вам также обязательно встретятся понятия:
Выбор типа лестницы для частного дома чаще всего зависит от индивидуальных предпочтений, доступного пространства и бюджета. Сами лестницы можно классифицировать по различным параметрам, включая материалы, угол поворота, конструкцию поворота, количество маршей, количество косоуров и т.д. Ниже рассмотрим наиболее распространенные варианты, которые могут удовлетворить потребности большинства пользователей.
Прямые лестницы. Это самый простой и распространенный вид лестниц. Они идут прямо от одного уровня к другому без поворотов. Наиболее удобные, но и одновременно наиболее громоздкие лестницы.
Г-образные лестницы. Состоят из двух прямых маршей (как правило, неравноценных по длине), образующих угол в 90 градусов. Марши соединяются площадкой или забежными ступенями. Оптимальный вариант, если проем достаточно длинный, но не позволяет вместить полноценную прямую лестницу.
П-образные лестницы. Состоят из двух или трех прямых маршей, которые образуют один поворот на 180° или два по 90°, соответственно. Двухпролетные лестницы с поворотом на 180° являются одними из самых компактных маршевых лестниц, но в угоду размеру часто приходится жертвовать комфортом при эксплуатации в будущем.
Винтовые лестницы. Имеют непрерывную круговую форму и вращаются вокруг центрального столба, обычно с углом поворота на 360 градусов и более, относительно входа и выхода. Максимально компактные, но не так удобны для постоянного пользования.
Лестницы с площадкой. Включают в себя одну или несколько горизонтальных площадок, которые используются как поворотный элемент между маршами. Это наиболее удачный вариант лестницы с поворотом, поскольку на широкой площадке могут свободно разойтись два человека и ее можно использовать, как место для отдыха, что особенно актуально для пожилых или людей с ограниченными возможностями.
Лестницы с забежными ступенями. Это лестницы, в которых несколько ступеней треугольно-трапициевидной формы расположены под углом к основной линии подъема, образуя своеобразный поворот. Ступени, формирующие поворот, называются забежными. Благодаря тому, что конструкция лестницы изменяет направление подъема равномерно без использования одноуровневой площадки, это позволяет еще больше сэкономить пространство, однако поворотный участок не отличается безопасностью и не позволяет разойтись двум людям. Помимо этого, такие лестницы отличаются сложностью при проектировании, изготовлении и монтаже. Обычно применяется в случаях, когда проем не оставляет других вариантов.
Лестница должна быть спроектирована таким образом, чтобы обеспечить максимальное удобство эксплуатации при имеющемся проеме, который зачастую не подлежит расширению и имеет достаточно ограниченный размер. При этом важно учитывать особенности людей, которые будут ею пользоваться. Например, если в доме есть дети или пожилые, то лестница должна быть безопасной и удобной для них, в первую очередь.
Угол наклона лестницы определяет, насколько крутой или пологой будет лестница. Чем больше угол наклона, тем круче лестница, и наоборот, чем меньше угол наклона, тем положе лестница.
Слишком крутой угол наклона может сделать лестницу трудной для подъема, особенно для пожилых людей или людей с ограниченными физическими возможностями. Слишком пологий угол наклона может сделать лестницу слишком длинной и неудобной для использования.
Согласно СП 54.13330.2022 «Здания жилые многоквартирные» максимальный уклон марша лестницы не должен превышать 1:1.75, при этом для двухэтажных зданий — 1:1.5.
СП 55.13330.2016 «Дома жилые одноквартирные» ссылается на СП 1.13130.2009 «Системы противопожарной защиты», где указано что уклон маршей лестниц в надземных этажах следует принимать не более 1:2.
СП 118.13330.2022 «Общественные здания и сооружения» для надземных этажей рекомендует применять уклон 1:2.
При этом в качестве минимального документы приводят уклон 1 к 1.
Как можно заметить, в нормативных документах нет понятия угла наклона лестницы, есть только упоминания уклона.
Уклон — это показатель крутизны, который равен отношению проекции линии на вертикальную плоскость к проекции этой же линии на горизонтальную плоскость.
Уклон в градусах считается через арктангенс угла: tg α = h / s или α = arctg (h/s)
Таким образом, согласно нормативам, оптимальный угол наклона лестницы находится в диапазоне от 26.6° до 45°: уклон 1:1 равен 45°, 1:1.5 — 33.7°, 1:1.75 — 29.7°, 1:2 — 26.6°.
Угол наклона лестницы и размер ступеней напрямую связаны между собой. При равном количестве ступеней, у крутой лестницы будет более высокий и короткий шаг, а в случае пологой лестницы, наоборот, ширина проступи увеличивается.
В разрезе комплексного расчета лестницы знание нормативов уклона важно для определения размера ступени. Поскольку только размер ступеней будет в дальнейшем определять удобная лестница или нет, и все остальное характеристики будут «подгоняться» к тому, чтобы сохранить размеры ступеней в пределах оптимальной величины.
Ступень должна обеспечивать опирание ноги полной стопой — т.е. по справочным данным в среднем величина ширины/глубины проступи будет находится в диапазоне от 200 до 320 мм, в зависимости от человека. При увеличении ширины шаг начнет сбиваться, а при сильном уменьшении затруднится спуск.
Согласно СП 54.13330.2022 минимальная ширина проступи в средней части должна быть не менее 180 мм.
По статистике, самым крупным размером обуви у мужчин принято считать 45 (46 и далее, больше исключение из правил). При этом средняя длина стопы у такого человека будет составлять около 300 мм. Считается, что ширина проступи такого же размера является комфортной, как для большинства мужчин, так и для женщин. Именно поэтому ступени чаще всего имеют ширину 300 мм.
Для понимания высоты ступеней следует вспомнить понятие уклона. Уклон марша — это отношение высоты марша к его длине, а поскольку длина и высота марша, это есть непрерывный ряд отдельных ступеней, тогда грубо, к ступеням также можно применить это же соотношение.
Например, при общем уклоне 1:1.5, отношение высоты ступени к ее ширине также будет равно 1:1.5, т.е. при ширине ступени 300 мм, ее высота будет 200 мм.
Также важно подчеркнуть, что СП 118.13330.2022 «Общественные здания и сооружения» конкретно определяет, что размер проступей лестниц должен быть 300 мм (допустимо от 280 до 350 мм), а высота ступеней — 150 мм (допустимо от 130 мм до 170 мм).
В качестве примера приводится отношение 1 к 2. Поскольку других нормативных данных по размерам ступеней больше нет, эта пропорция в дальнейшем будет считаться эталонной.
Далеко не всегда получается использовать подобный формат ступеней, приходится поступаться высотой или шириной, в угоду ограниченного размера проема. Для того, чтобы сохранить ступени удобными или хотя бы «приемлемыми» в эксплуатации, ориентируются на несколько формул для расчета ступеней:
Формула шага Блонделя. 2 × h + s = 60-65* см
Формула удобства. h + s = 45-47 см
Формула безопасности. s − h = 6-18 см
Расчет по каждой формуле сводится к перебору значений с проверкой, соблюдается условие или нет. При этом важно помнить, что отношение высоты к ширине должно быть в диапазоне от 1:1 до 1:2 (или хотя бы близкое к этому).
Например, эталонная ступень 300х150 мм, проходит проверку во всех формулах:
Но ступени 300х200, 300х300, проверку уже не проходят, хотя и подходят по отношению к оптимальной ширине проступи. Соответственно, для своей лестницы требуется подобрать ступень наиболее близкую к эталонной.
В целом, каждая из формул имеет право на существование, они распространены и используются повсеместно. Но стоит отметить, что первая формула является наиболее авторитетной, ее предложил французский архитектор Жак Франсуа Блондель. Он исследовал размеры ступеней научными методами и в своей книге «Cours d’architecture» утверждал, что ширина проступи и высота ступени находятся в пропорциональной зависимости от средней длины шага человека.
Блондель смог рассчитать оптимальную высоту ступени и ширину проступи для среднестатистического человека, по его расчетам они составляют 15-18 см (h) и 27-30 см (s), соответственно. Эти значения не совпадают со значениями свода правил, но также в целом поддерживают идею пропорции 1:2 или близкой к ней.
Стоит отметить, что не всегда получается попасть в оптимальный диапазон значений. В этом случае при подборе ступеней рекомендуется ориентироваться на рост человека — более высокому человеку можно подобрать более высокую ступень, что позволит увеличить ширину проступи, необходимую при больших размерах стопы. Это справедливо и в обратную сторону.
В магазинах можно встретить ступени шириной 200, 250, 300, 350 мм — на эти значения также следует ориентироваться при подборе.
Проем для лестницы следует планировать одновременно с самой лестницей или, что еще лучше, на этапе проектирования дома. Этот проем должен быть достаточно большим, чтобы по нему было удобно пройти по всей длине лестницы.
Согласно наблюдениям, человек среднего роста (примерно 180 см) может безопасно перемещаться по проему высотой 185 см. Но при этом он, скорее всего, будет инстинктивно пригибаться, что может вызвать определенный дискомфорт.
Рекомендуется, чтобы высота проема, или расстояние от ступеней до потолка было не менее 2 метров, а от верхней части головы человека до потолка — не менее 20 см. При этом важно, что по мере подъема по лестнице эта величина должна сохраняться на протяжении всего марша.
Ширина марша определяет пропускную способность лестницы, т.е. количество человек, которые могут по ней пройти.
Ширина внутриквартирных и внутридомовых лестниц частных домов должна быть не менее 0.8-1 метра, в домах повышенного комфорта часто используются лестницы шириной 1.25-1.5 метра. Узкие лестницы шириной 0.8 метра допускается пользовать только при условии, что они является одномаршевыми и позволяют поднимать габаритные предметы.
При подборе ширины марша можно ориентироваться на СП 1.13130.2020 «Системы противопожарной защиты. Эвакуационные пути и выходы», там указано, что минимальная ширина марша внутриквартирных лестниц составляет 0.9 м, а для многоквартирных домов — 1.05 м.
Также там есть другие важные упоминания.
Ширина лестничных площадок должна быть не менее ширины марша, а перед входами с распашными дверями — не менее суммы ширины марша и половины ширины двери, но не менее 1.6 м.
Зазор между маршами лестниц и между поручнями ограждений лестничных маршей должен быть шириной не менее 75 миллиметров (за исключением двухмаршевых лестниц двухэтажных зданий высотой не более 12 метров до отметки пола второго этажа, а также лестниц, ведущих в одноэтажный подвал).
Подступенки служат для формирования законченного образа ступеней, они придают лестнице более аккуратный и законченный вид.
Каких-то особых требований к подступенкам не предъявляются. Их изготавливают из строганных досок толщиной 18-25 мм. При этом рекомендуется использовать такую же породы древесины, как и для проступей.
Важно отметить, что подступенки обеспечивают дополнительную опору и в целом повышают устойчивость лестницы на зубчатых косоурах, т.к. позволяют искусственно увеличить сечение несущей балки.
После того, как мы узнали, какая лестница в целом считается оптимальной. Рассмотрим ситуацию, когда дом только строится, проема еще нет и мы вправе сами задавать размеры лестницы для достижения максимально комфортных условий при эксплуатации.
Предположим, что высота от пола первого этажа до пола второго этажа будет равняться 3 метрам, это будет высота лестницы (при условии если ступень второго этажа будет на уровне второго этажа). При этом нам необходимо определить длину лестницы и соответственно длину проема.
Для начала будем отталкиваться от идеальной ситуации: когда ступень должна иметь ширину/глубину 300 мм, а высоту 150 мм.
Важно помнить про ассортимент пиломатериалов в магазинах. В продаже чаще всего представлена проступь/доска размером 1000х300х40 (Длина х Ширина х Толщина).
При высоте проема 3000 мм и высоте ступеней 150 мм, поместится 20 целых прямых ступеней:
3000 мм / 150 мм = 20 ступеней.
При 20 ступенях шириной 300 мм, длина лестницы получится равной 6000 мм:
20 ступеней × 300 мм = 6000 мм.
При этом длина самого косоура, по теореме Пифагора будет равняться:
с2 = а2 (длина) + b2 (высота) ≈ 6708 мм.
В этой ситуации важно то, что балок такой длины нет в продаже, поскольку они не будут обладать достаточной прочностью. Чаще всего в магазинах будет представлена тетива длиной 4000 мм, максимум можно встретить 5000-6000 мм балки.
Второе замечание — согласно требованиям по противопожарной защите не допускается более 18 подъемов.
Число ступеней в пределах одного лестничного марша не должно быть больше 18 — СП 1.13130.2020.
Попробуем сделать оптимальную лестницу от обратного. Возьмем за условие, что длина тетивы будет равняться 5000 мм.
Тогда длина лестницы, по той же теореме Пифагора, будет 4000 мм. Напомним, что высота лестницы 3000 мм.
Если проверить угол наклона лестницы по формуле tg α = h / s, то получим значение 36.87° — все в порядке.
Теперь нужно определиться с размером ступеней и их количеством.
Если рассматривать дальше ступень шириной 300 мм, то в результате расчетов выясняется, что целое количество ступеней вписать не получится: 4000 мм / 300 мм = 13.33 ступеней.
И тут нужно или использовать 13 ступеней и срезать косоур, или добавлять 14 ступень, но подпиливать все ступени по ширине. В любом случае, при таком раскладе высота ступени будет равняться от 214 мм до 231 мм (при 14 и 13 ступенях соответственно). Что для среднестатистического человека очень много, напомним, что оптимальный диапазон в районе 15-18 см.
Далее попробуем взять ступень шириной 250 мм. В этом случае у нас получится 16 целых прямых ступеней без остатка (4000 мм / 250 мм = 16 ступеней). Высота ступени при этом будет равна 187.5 мм, что является практически оптимальным по Блонделю. Таким образом остановимся на этом.
При расчете лестницы необходимо учесть размер проема на верхнем этаже. В нашем примере его ширина будет равняться ширине лестницы, а длина будет зависеть от минимальной высоты прохода, которую рекомендуется выдерживать на уровне 200 см от уровня ступеней до потолка вдоль хода. Когда эту величину не получится соблюсти, выступ перекрытия над проемом должен прерваться, чтобы голова не цепляла потолок.
Для того чтобы вычислить длину проема необходимо воспользоваться тригонометрическими функциями. По сути, нам нужно рассчитать длину катета прямоугольного треугольника.
Согласно условиям, нам известен угол наклона марша 36.87°, минимальная высота прохода должна быть равна 200 см, толщину перекрытия возьмем равным 20 см.
Тогда длина катета будет равна:
l = h / tg α = 2200 / 0.75 ≈ 2933 мм.
К этой величине нужно добавить ширину ступени, получается итоговая длина проема на втором этаже:
L = 2933 + 250 = 3183 мм.
Если отверстие в полу второго этажа планируется создавать равным длине лестницы, то расчет минимальной высоты прохода можно не выполнять.
В примере мы рассмотрели идеальную ситуацию, когда проем планируется под конкретную лестницу. Но так происходит редко.
Обычно лестница в частных домах и двухярусных квартирах проектируется под конкретный существующий проем, причем весьма ограниченный. Во-вторых, даже на этапе проекта мало кто готов пожертвовать полезной площадью под габаритную лестницу, обычно проем идет по остаточному принципу. И в-третьих, далеко не всем нравится лестницы с малым уклоном, например, взрослому крупному мужчине будет комфортнее ходить по более крутой лестнице с высокими ступенями.
Если вернуться к реалиям, то стандартный расчет проводится в обратную сторону, т.е. по заданным размерам проема. Давайте рассмотрим пример одномаршевой лестницы, когда имеется проем длиной 3.5 метра, шириной 2 метра, высотой 3 метра.
В этом случае угол наклона будет равен tg α = 3000 / 3500 = 40.6°.
Это достаточно крутая лестница, не совсем комфортная для пожилых и детей, но в принципе, на приемлемом уровне для среднестатистического взрослого человека.
Если продолжать рассматривать вариант прямой лестницы, то теперь нужно подобрать ступени. Стандартные ступени в магазине обычно шириной 300 мм. При такой длине проема мы получим 3500 мм / 300 мм = 11.66 ≈ 12 ступеней (округляем в большую сторону).
Теперь можно рассчитать высоту ступеней: 3000 мм / 12 ступеней = 250 мм. Вот и первая проблема, высота ступени очень велика.
При этом важно не забывать про отношение высоты ступени к ее ширине (1 к 2), или хотя бы приближенное к этому. Удобные ступени находятся в диапазоне размеров, по высоте: 15-18 см и ширине: 27-30 см.
Далее нужно заняться перебором значений ширины/глубины ступени, чтобы подобрать оптимальную высоту.
Попробуем пройтись по границам допустимых значений ширина: 27 см и высота: 18 см.
При длине ступени 270 мм, мы получим 3500 мм / 270 мм = 12.96 ≈ 13 ступеней. Высотой: 3000 мм / 13 ступеней ≈ 230 мм. Тоже неудобная ступень.
Добавим еще одну. Получатся ступени шириной: 3500 мм / 14 ступеней = 250 мм и высотой: 3000 / 14 ≈ 214 мм. В принципе на этом можно и остановиться, это наилучшие значения которых можно добиться. Если перебирать далее, то получится слишком узкая проступь, чего желательно не допускать, поскольку нога не будет иметь опоры, а это более важный критерий, чем высота ступени.
Теперь давайте попробуем разместить в этом же проеме П-образную лестницу на 180° с площадкой. Условия по проему те же самые: длина 3.5 м, ширина 2 м, высота 3 м.
Ширина марша будет равна 1 м, при этом глубину площадки примем равной ширине марша. Предположим, что площадка будет посередине. Таким образом на спуск и подъем останется 2500 мм на каждый марш, и ожидается что будет равное количество ступеней (при этом высота площадки будет равна высоте ступени).
Попробуем подобрать количество ступеней, приняв за исходную ступень шириной 300 мм, высотой 150 мм.
По длине марша 2500 мм, вместится 9 целых ступеней: 2500 / 300 мм = 8.33 ≈ 9 ступеней.
Оценим высоту ступеней с учетом площадки: 3000 мм / (9 × 2 + 1) ≈ 158 мм.
Если провести проверку удобства ступени по формуле Блонделя, то можно увидеть, что тождество справедливо:
158 × 2 + 300 = 600-650 мм.
При этом угол наклона удалось сократить более чем на 10° (по сравнению с прямой), и он равняется:
tg α = (9 × 158) / (3500 - 1000) = 29.63°.
Для еще большего сокращения размера лестничной клетки по длине, вместо межэтажной площадки, часто используются поворотные, или иначе забежные ступени.
Главной особенностью данных ступеней является их треугольно-трапециевидная форма: их ширина уменьшается от внешнего края к внутреннему. При этом передвижение возможно только по мере приближению к центру ступени или с внешней стороны, прилегающей к стене.
Проектирование поворотного узла с забежными ступенями выполняется разными графическими методами, с которыми более подробного можно ознакомиться в отдельной статье «Расчет забежных ступеней». Если же рассмотреть технику кратко — то все они основаны на пропорциональном расширении концов поворотных ступеней за счет ширины прямых.
На примере, П-образной лестницы (с поворотом на 180°).
В центре предполагаемых маршей наносятся средние линии, которые соединяются между собой с помощью полуокружности с центром в точке А. Вдоль получившейся линии движения ac, размечаются поворотные и прямые ступени с шириной b в месте пересечения. Разметка ступеней начинается с верхнего элемента и таким образом, чтобы вертикальная линия BC разделяла его по ширине на две одинаковые части.
Следующим шагом является подгон размера забежных ступеней. Для этого рекомендуется выбрать три ближайшие прилегающие прямые ступени (чем больше войдет в расчет, тем плавнее переход, но более трудоемкое изготовление) и вдоль внешнего края последней провести горизонтальную линию DE.
Для этого продолжают линии делений 1 и 2 в направлении прямой DE (пересекаются в точке А) и получают отрезок 1-2 (равный b). Затем на линии OE отмечают точки с шагом равным b, но с учетом расположения в центре поворота. Если ступень одна – точка 1 будет удалена от точки O на расстоянии b/2, а все последующие точки расположатся друг от друга на расстоянии b.
Количество точек на линии OE определяется количеством забежных ступеней, которые необходимо откорректировать.
Затем соединяются точки на прямой с соответствующими точками вдоль средней линии движения, в результате чего на чертеже лестницы образуются контуры поворотных ступеней правильной формы. Аналогичные действия необходимо выполнить и по отношению к правой половине.
Суть расчета нагрузки на лестницу сводится к определению максимальной нагрузки, которую балки могут выдержать без деформации или разрушения.
Алгоритм расчета подробно расписан в СП 20.13330.2016 «Нагрузки и воздействия», по разным материалам есть уточнения в отдельных документах, по дереву — СП 64.13330.2017 «Деревянные конструкции», металлу — СП 16.13330.2017 «Стальные конструкции», бетону — СП 63.13330.2018 «Бетонные и железобетонные конструкции».
Также детально расчет нагрузки для деревянных конструкций раскрыт в книгах: Шишкин В.Е. «Примеры расчета конструкций из дерева и пластмасс», ЦНИИЭПграждансельстрой «Руководство по проектированию конструкций деревянных панельных жилых домов».
Формулы и порядок расчета по металлическим и бетонным косоурам указаны в материалах: Вахненко П.Ф., Хилобок В.Г., Андрейко Н.Т., Яровой М.Л. «Расчет и конструирование частей жилых и общественных зданий», Линович Л.Е. «Расчет и конструирование частей гражданских зданий», Малахова А.Н., Морозова Д.В. «Проектирование железобетонных и металлических лестниц».
Нагрузка на балку может быть распределенной и сосредоточенной.
В первом случае подразумевается, что давление равномерно распределяется на балки и не изменяется со временем. Сюда относится вес косоуров, ступеней, подступенков, ограждения и прочих статичных элементов.
Сосредоточенная нагрузка — это динамичная нагрузка, т.е. когда человек или какой-то объект, временно оказывает воздействие в определенной площади.
При этом по правилам Сопромата необходимо учитывать тип закрепления каждого конца балки: шарнирно неподвижная опора, шарнирно подвижная опора, жесткая заделка или защемление.
Для упрощения расчета, мы будем считать, что все оказываемые нагрузки будут являться распределенными, а балки закреплены по схеме шарнир-шарнир.
Также нужно вспомнить и понять несколько других моментов.
Как известно, деревянные косоуры для лестницы могут изготавливаться в двух разных форматах:
Типовой косоур является менее прочным вариантом по сравнению с тетивой, поскольку при одинаковой первоначальной ширине балки, в первом случае геометрия меняется для создания посадочных мест под ступени, таким образом появляются зоны с ослабленным сечением. И именно место с самым узкой геометрией будет определять несущую способность балки в целом.
При этом, когда лестница в сборе, несущая способность конструкции будет усиливается за счет увеличения сечения балки через ступени и подступенки. Также значительно усиливает лестницу ограждение, которое, по сути, превращает всю конструкцию в ферму.
В качестве примера разберем расчет нагрузки на деревянную балку по книге Шишкина В.Е.
Первое с чего стоит начать, это определить реальную длину косоура.
Рассмотрим вариант прямой одномаршевой лестницы, у которой горизонтальная проекция на пол равна 4000 мм, высота 3000 мм. Ширина марша 1000 мм.
Продолжаем расчет лестницы из блока «Расчет размеров лестницы».
По теореме Пифагора, длина косоура будет равняться 5000 мм.
Угол наклона составит 36.87°. Это значение пригодится чуть позже.
После того, как была определена полная длина косоура следует начать сбор нагрузок.
Распределенная нагрузка может быть равномерной по площади и выражаться в килограмм на метр квадратный и может быть линейной, т.е. распределенной по длине и выражающейся в килограмм на погонный метр. Обе величины взаимно конвертируются через ширину действия. Например, чтобы перевести линейную нагрузку в равномерную, нужно разделить первую на ширину действия (ширину марша).
В качестве примера сначала разберем расчет нагрузки на цельную балку — тетиву. Затем рассмотрим вариант с зубчатым косоуром.
Рассчитаем собственный вес тетивы. Согласно справочным данным плотность сухой древесины из сосны составляет порядка 500 кг/м3. Длина балки нам известна — 5000 мм, ширина и толщина — нет. Для предварительной оценки массы, возьмем типовую тетиву 5000х300х40 (300 мм ширина, 40 мм толщина).
Косоуры/тетиву обычно делают из досок толщиной 40-70 мм и шириной не менее 250-300 мм.
Объем тетивы: 5000 мм × 300 мм × 40 мм = 60.000.000 мм3 или 0.06 м3.
Общий объем тетивы: 0.06 м3 × 2 шт = 0.12 м3.
Общая масса тетивы: 500 кг/м3 × 0.12 м3 = 60 кг.
Если мы разделим общую массу на полную длину тетивы, то получим значение нагрузки:
60 кг / 5 м = 12 кг/пог.м
Аналогично рассчитаем ступени. Предположим, что на лестнице у нас будет 16 прямых ступеней. Тогда величина глубины ступени будет равняться:
4000 мм / 16 ступеней = 250 мм.
При ширине марша в 1000 мм и толщине типовой доски в 40 мм, получим, что итоговый размер доски 1000х250х40.
Объем ступени: 1000 мм × 250 мм × 40мм = 10.000.000 мм3 = 0.01 м3.
Общая масса: 0.01 м3 × 15 шт × 500 кг/м3 = 75 кг.
Нагрузка: 75 кг / 5 м = 15 кг/пог.м
Также нельзя забывать про ограждения, перила, столбы, подступенки, ковровые покрытия и др. Все это в сумме может весить около 100 кг.
Нагрузка: 100 кг / 5 м = 20 кг/пог.м
Согласно данным сводов правил, временную нагрузку от людей и перемещаемых грузов рекомендуется принимать равной 300 кг/м2.
Теперь нужно конвертировать линейную нагрузку в равномерную и сложить все значения. Поскольку ширина марша в нашем случае равняется 1 метру, то 1 кг/пог.м нагрузки будет равняться 1 кг/м2.
Итого общая нагрузка: 12 кг/м2 + 15 кг/м2 + 20 кг/м2 + 300 кг/м2 = 347 кг/м2.
Поскольку мы имеем дело с балками с наклонной осью (согласно книге при угле больше 10°), то постоянную нагрузку, вычисленную на 1 м2 поверхности делят на косинус угла, приводя ее к нагрузке 1 м2 плана покрытия.
Общая нагрузка = 347 кг/м2 / cos 36.87° ≈ 434 кг/м2.
Нагрузка на одну тетиву (q) = 434 кг/м2 / 2 шт = 217 кг/м2.
После того, как была определена величина нагрузки на балку, необходимо выполнить проверку тетивы на изгиб и прочность.
Вычислим изгибающий момент, т.е. максимальную поперечную силу которое может выдержать тело без нарушения целостности.
M = (q × l2) / 8
M = (217 × 52) / 8 = 678.125 кгс·м.
Далее это значение нужно перевести в кгс·см, для чего результат умножаем на 100.
Теперь рассчитаем требуемый момент сопротивления.
Wтреб = M / R
R = 210 кгс/см2 для древесины 1 сорта.
Wтреб = 67812.5 кгс·cм / 210 кгс/см2 ≈ 323 см3.
После того, как мы узнали требуемый момент сопротивления, можно проверить предполагаемую балку 5000х300х40 на соответствие. Для этого воспользуемся формулой:
W = (b × h2) / 6
W = (4 × 302) / 6 = 600 см3.
Как видно, по прочности балка обладает существенным запасом.
Теперь проверим балку на изгиб. Для этого воспользуемся формулой:
f = (5 × q × l4) / (384 × E × J)
Модуль упругости (Е) для древесины обычно принимается равным 100 000 кгс/см², момент инерции определяется по формуле:
J = (b × h3) / 12
J = (4 × 303) / 12 = 9000 см4.
f = (5 × 2.17 × 5004) / (384 × 100000 × 9000) = 678125000000 / 345600000000 ≈ 1.96 см.
Согласно СП 20.13330.2016 предельные прогибы лестничных маршей при длине балки от 3 до 6 метров, равны от l/150 до l/200 соответственно. Таким образом предельный прогиб будет находится в диапазоне:
fдоп = 500 / 200 = 2.5 см.
fдоп = 500 / 150 ≈ 3.4 см.
Т.е. по изгибу балка также находится в допустимых пределах.
Теперь рассмотрим ситуацию, если вместо тетивы будет использоваться зубчатый косоур. Предположим, что изначальная балка имеет такой же размер 5000х300х40, где 300 мм — ширина балки.
В первую очередь необходимо определить минимальную ширину косоура, т.е. ту сплошную ширину, которая останется после распила верхней части балки под посадочные места для ступеней.
Для этого необходимо определить ширину, которая будет использоваться под ступени. Поскольку распил представляет собой форму прямоугольного треугольника, у которого у нас уже известны стороны: ширина ступени — 250 мм, высота — 187.5 мм, нужно вычислить биссектрису, которая будет являться глубиной распила.
f = √2 × ((a × b) / (a + b)) ≈ 151.5 мм.
В результате из общей ширины балки, нам нужно исключить 151.5 мм под ступени, в результате получится минимальная ширина косоура: 300 мм – 151.5 мм = 148.5 мм ≈ 148 см. Округлим в меньшую сторону для упрощения расчета.
Существует негласное правило, что минимальная ширина балки должна быть больше/равна глубине пропила.
Теперь выполним расчет косоура на прочность и изгиб по аналогичной тетиве схеме.
Пренебрежем незначительной разницей в весе между цельной тетивой и распиленным косоуром, и примем за условие, что нагрузка на один косоур будет такой же, как и в случае с тетивой, т.е. равной 217 кг/м2 (при общей 434 кг/м2).
Требуемый момент сопротивления будет также равен:
Wтреб = 67812.5 кгс·cм / 210 кгс/см2 ≈ 323 см3.
Проверим косоур на соответствие:
W = (4 × 14.82) / 6 ≈ 146 см3.
Балка не проходит по прочности более чем в два раза. В этом случае есть два пути: менять балку на другую с большим сечением и/или увеличивать количество косоуров, чтобы нагрузка распределялась.
Среди самых «мощных» пятиметровых балок, можно встретить более широкую 5000х360х40 и более толстую 5000х300х60.
Если сделать косоур на основе первой, то ее момент сопротивления будет равен:
W = (4 × 20.82) / 6 ≈ 288 см3.
Если на основе второй:
W = (6 × 14.82) / 6 ≈ 219 см3.
Как можно увидеть, при замене балки в любом случае проблема не решается, поэтому нужно также увеличивать количество косоуров.
В этом случае общая нагрузка будет разделена на три балки: 434 кг/м2 / 3 = 108 кг/м2.
Тогда изгибающий момент будет равен:
M = (108 × 52) / 8 = 337.5 кгс·м.
Wтреб = 33750 кгс·cм / 210 кгс/см2 ≈ 161 см3.
Таким образом косоур из любой балки (5000х360х40 или 5000х300х60) будет отвечать требованиям по прочности. Дальше в расчетах будем использовать первый, поскольку он обладает большим запасом устойчивости.
Следующая проверка на изгиб. Определим момент инерции косоура:
J = (4 × 20.83) / 12 ≈ 3000 см4.
После этого можно сформировать конечную формулу на изгиб:
f = (5 × 1.08 × 5004) / (384 × 100000 × 3000) = 337500000000 / 115200000000 ≈ 2.93 см.
Как было уже отмечено ранее, для балки длиной от 3 до 6 метров, предельный прогиб будет находиться в диапазоне от 2.5 до 3.4 см. Данный косоур не превышает верхнюю отметку, но находится в довольно опасно опасной зоне.
Однако следует помнить, что этот расчет проводился для специфичного случая с максимальными нормо-нагрузками. При установке на лестницу подступенков и ограждений, жесткость конструкции будет дополнительно усилена.
При слишком большой длине косоура, для избежания прогиба, также рекомендуется дополнительно установить опору.
Ступени лестницы должны быть достаточно прочными и устойчивыми для обеспечения безопасности при перемещении.
Расчет толщины ступеней полностью повторяет расчет нагрузки на косоур, за единственным исключением. Ступени находятся строго в горизонтальной плоскости, поэтому не испытывают никаких вертикальных нагрузок.
В качестве примера, рассмотрим самую ходовую ступень в магазинах — 1000х300х40.
Ступень должна выдерживать динамическую нагрузку в 300 кг/м2 и нагрузку собственного веса.
Если также принять за условие, что плотность древесины будет 500 кг/м3, то масса одной ступени будет 6 кг.
Площадь ступени 0.3 м2, значит нагрузка на 1 м2 будет равна 20 кг/м2.
Итого общая нагрузка: q = 320 кг/м2.
Изгибающий момент: M = (320 × 12) / 8 = 40 кгс·м = 4000 кгс·см.
Требуемый момент сопротивления: Wтреб = 4000 кгс·cм / 210 кгс/см2 ≈ 19 см3.
Расчетный момент сопротивления: W = (30 × 42) / 6 = 80 см3.
Запас по прочности для ступени более чем в 4 раза.
Теперь определим изгиб ступени. Начнем с момента инерции:
J = (30 × 43) / 12 = 160 см4.
Переведем нагрузку q в линейную. Для этого разделим ее на ширину действия:
qлин = 320 кг/м2 × 0.3 м ≈ 96 кг/м.
Итоговый расчет изгиба ступени:
f = (5 × 0.96 × 1004) / (384 × 100000 × 160) = 480000000 / 6144000000 ≈ 0.08 см
Согласно СП 20.13330.2016 предельные прогибы элементов лестницы при длине доски до 1 метра включительно, равны l/120.
fдоп = 100 / 120 = 0.83 см.
Ступень также проходит проверку на изгиб.
В целом толщина проступи больше зависит от ширины марша, чем от других факторов. Рекомендуется чтобы толщина ступени должна быть пропорциональна ширине марша 1 к 20. Т.е. для маршей 800/1000/1200 мм желательно использовать доски толщиной не менее 40/50/60 мм соответственно.
Составной частью лестниц является ограждение (балюстрада). Ограждение лестницы служит для предотвращения падений и обеспечения поддержки при подъеме и спуске. Конструктивно состоит из опорных столбов, балясин и перил/поручней.
Другая важная, но при этом незаметная функция балюстрады — усиление жесткости и запаса прочности лестницы. Ограждение по факту является фермой, которая распределяет нагрузку между разными узлами.
Опорный столб — является несущим элементом конструкции. Размеры стандартного столба: высота - от 1000 до 1300 мм, сечение - от 70х70 мм до 120х120 мм. Очень важно, чтобы сечение столба соответствовало ширине поручня. Поручень не должен выходить за пределы столба в точке их смыкания.
Балясины представляют собой фигурные столбы, которые также поддерживают поручни. Их назначение - быть преградой на пути возможного падения. Поэтому расстояние между ними должно быть не более 150 мм по центрам. При этом толщина балясин (сечение) решающей роли не играет. Она может варьироваться от З0 до 80 мм.
Поручень — это элемент ограждения, который служит для опоры на него рукой и придает конструкции жесткость и надежность. Его конфигурация должна соответствовать размерам опорного столба и балясины, так как его связующая функция является приоритетной.
Высота поручней должна быть удобной для опирания на них рукой — для среднего человека это значение находится в диапазоне 900–1100 мм.
Обычно поручни изготавливаются из склеенной по всей длине древесины, а при длине свыше 3 метров делают и поперечную склейку. Если ширина лестницы превышает 1100 мм, рекомендуется установить дополнительное ограждение по стене, используя пристенные перила.
Согласно СП 20.13330.2016 нормативные значения горизонтальных нагрузок на поручни перил лестниц и балконов следует принимать для жилых зданий не менее 50 кг/м. Также перила должны быть проверены на сосредоточенную вертикальную нагрузку, чтобы они выдерживали нагрузку в 150 кгс.
При помощи онлайн-конструктора лестницы от КАЛК.ПРО можно создать полноценный проект, который будет включать все необходимое для сборки и монтажа: смету с количеством и размером элементов, комплект чертежей и шаблонов, а также 3D-модель для оценки конструкции. Также вы можете сразу же получить расчет стоимости лестницы по собственной базе материалов.
3D-калькулятор лестницы прост в использовании и не требует специальных инженерных навыков – все поля программы интуитивно понятны, а справка включает иллюстрации с обозначениями отдельных элементов. Каждый расчет сопровождается оценкой получившегося строения на удобство и надежность, а при вводе недопустимых значений, при помощи всплывающих подсказок можно увидеть, где была совершена ошибка.
На сайте КАЛК.ПРО можно спроектировать лестницу для частного дома из предложенных 26 конфигураций на металлокаркасе, из дерева или бетона, на выбор.
При любом строительстве необходима подробная смета, которая позволяет узнать точное количество и размер материалов, требуемые для реализации конкретного проекта. Это исключает приобретение лишнего сырья и предотвращает возможные задержки в процессе строительства из-за нехватки необходимых материалов.
Проект лестницы от КАЛК.ПРО включает комплексную смету, которая содержит подробные характеристики каждого элемента, их количество и объем материалов, необходимых для изготовления. Расчет учитывает все параметры конструкции и предоставляет наиболее оптимальный расход на основе этих значений.
Также теперь наши инструменты могут рассчитать стоимость изготовления лестницы по созданному проекту на калькуляторе. В конструктор интегрированы актуальные данные по цене базовых материалов и после расчета вы можете сразу же оставить заявку на изготовление комплектующих.
Конечная цена может изменится после утверждения проекта и выбора более дорогих материалов.
Чертежи являются важнейшим компонентом любой проектной документации, так как позволяет зафиксировать конструктивные особенности элементов и их соединения. Также они предоставляют возможность предварительно оценить параметры отдельных компонентов конструкции на практике.
Наши схемы отличаются высоким качеством и подробной проработкой всех узлов — чертежи лестницы можно использовать для создания шаблонов или непосредственно для раскроя пиломатериалов на ЧПУ. Чертежи можно скачать форматах PDF, PNG и SVG.
3D-визуализация позволяет рассмотреть получившуюся конструкцию в реальных пропорциях и оценить перспективы использования текущего проекта. В отличие от чертежей, трехмерная модель не предназначена для изготовления элементов конструкции, однако она способна визуально передать общее представление объекта вплоть до мельчайших деталей.
Мы предлагаем интерактивный функционал для работы с 3D-моделью — сцену можно масштабировать, вращать, изменять перспективу. Есть возможность наложения текстур на отдельные объекты, можно выбрать материал косоуров, ступеней, ограждения и др. Также 3D-сцену можно «примерить» в реальном проеме при помощи технологии дополненной реальности (AR).
Инструменты на нашем сайте являются лучшими помощниками при расчетах лестниц – вы можете создать полноценный проект конструкции в режиме онлайн без установки дополнительного ПО; в каталоге представлено 26 базовых лестниц для строительства в частном доме, которые можно «подстроить» под любой проем; мы взаимодействуем с большим количеством производственных компаний, программное обеспечение калькуляторов постоянно обновляется и совершенствуется.
Возможности | КАЛК.ПРО | Другие проекты |
Общее | ||
Адаптивный интерфейс. Полноценное использование ПО на разных устройствах, включая смартфоны и планшеты | + | +/– |
Веб-интерфейс. Использование ПО без установки на локальное устройство (нет требований к производительности устройства) | + | +/– |
Создание полноценного проекта с экспортом в файл PDF (смета, чертежи, 3D) | + | – |
Брендирование проекта (логотип компании на чертежах, 3D-сцене) | + | – |
Автоматическая проверка лестницы «на удобство» при расчете | + | +/– |
Расчет стоимости лестницы* | + | +/– |
Сохранение результатов расчета в личном кабинете | + | – |
Техническая поддержка и обратная связь | + | – |
Регулярные обновления ПО | + | – |
Материалы | ||
Расчет размера элементов | + | + |
Расчет количества элементов | + | +/– |
Расчет объема материалов | + | – |
Чертежи | ||
Набор детализированных чертежей с подробными обозначениями (размеры, углы…) | + | +/– |
Отображение минимальной высоты прохода на чертежах | + | – |
Интерактивный функционал по работе с чертежами (приближение, перемещение, вращение, полноэкранный режим) | + | – |
Скачивание чертежей в PNG | + | – |
Скачивание чертежей в PDF | + | +/– |
Скачивание чертежей в SVG. Полноценные шаблоны для работы с ЧПУ | + | – |
3D | ||
Детализированная 3D-сцена с возможностью взаимодействия с интерфейсом | + | +/– |
Отображение минимальной высоты прохода на 3D-сцене | + | – |
Интерактивный функционал по работе с 3D-сценой (приближение, перемещение, вращение, изменение перспективы, измерение длины, полноэкранный режим) | + | – |
Наложение 3D-сцены на реальные объекты (дополненная реальность, AR) | + | – |
Наложение текстуры на элементы 3D-сцены (текстурирование лестницы) | + | – |
Скачивание 3D-сцены в OBJ (3Ds Max, AutoCAD, ArchiCAD, Blender, Meshlab, ПК ЛИРА…) | + | +/– |
Скачивание 3D-сцены в DAE (3Ds Max, Adobe Photoshop, Autodesk Maya, Blender, Google Sketchup, Unity…) | + | – |
Скачивание 3D-сцены в GLTF/GLB (Blender, Paint 3D…) | + | – |
* только для деревянных лестниц
Возможности | КАЛК.ПРО | Другие проекты |
Общее | ||
Выбор единиц измерения (в т.ч. автоматический перевод размерностей) | + | – |
Выбор цветности чертежей | + | +/– |
Выбор стороны захода на лестницу | + | +/– |
Выбор способа расчета длины лестницы (вдоль определенного марша)* | + | – |
Размеры и общие параметры лестницы | ||
Высота лестницы/проема | + | + |
Длина лестницы/проема | + | + |
Ширина лестницы/марша | + | + |
Расстояние между маршами** | + | – |
Параметры ступеней | ||
Количество ступеней | + | + |
Количество ступеней (на каждый марш) | + | +/– |
Толщина ступеней | + | + |
Выступ края ступеней (спереди) | + | + |
Выступ края ступеней (сбоку) | + | – |
Верхняя ступень на уровне 2-го этажа или ниже | + | +/– |
Параметры подступенков | ||
Толщина подступенков | + | – |
Подступенки за ступенью или на ступени | + | – |
Параметры поворотной площадки | ||
Глубина площадки | + | – |
Выступ площадки (в направлении выбранного марша) | + | – |
Способ крепления забежных ступеней | ||
Соединение шип-паз или в разрез опорного столба | + | – |
Параметры косоуров | ||
Количество косоуров (в т.ч. доступен монокосоур)** | + | – |
Толщина косоуров | + | – |
Ширина косоуров | + | – |
Запас ширины тетивы*** | + | – |
Параметры опорного столба | ||
Сечение столба | + | – |
Параметры балок жесткости | ||
Толщина балок | + | – |
Ширина балок | + | – |
Параметры ограждения | ||
Высота ограждения | + | – |
Сечение балясины | + | – |
Толщина поручня | + | – |
Ширина поручня | + | – |
Параметры перекрытия | ||
Толщина перекрытия | + | – |
Выступ перекрытия над проемом | + | – |
Параметры стен | ||
Толщина стен | + | – |
* только для поворотных лестниц
** только для поворотных лестниц с забежными ступенями
*** только для лестниц на тетивах
При проектировании лестницы мы рекомендуем ознакомиться со строительными нормами и стандартами, которые регулируют размеры ступеней, подступенков, перил, площадок и других элементов для обеспечения безопасности использования.
Но в России нет единого нормативного документа, который бы предъявлял строгие требования к лестницам в малоэтажных домах. Есть только отдельные стандарты для жилых, общественных и производственных зданий, которые, в частности, затрагивают обустройство лестниц и лестничных площадок и на которые следует обратить внимание.
Также немаловажным будет получить представление о теоретических данных расчета лестницы. Для этого можно прочитать следующие источники:
